Le figure di Jules Antoine Lissajous sono curve ottenute dal sistema di equazioni parametriche:
dove Ax e Ay sono le ampiezze, ωx e ωy sono le pulsazioni e ϕx e ϕy sono le fasi di due moti oscillatori ortogonali.
Espresso in questo modo sembra un argomento molto complicato e impossibile da capire ma in realtà è un concetto molto semplice. Queste figure sono utili per studiare due moti oscillatori armonici semplici senza dover conoscere a priori la soluzione analitica esatta.
Rappresentazione grafica
Per ottenere le figure di Lissajous si riportano sui due assi di un grafico bidimensionale i valori delle due oscillazioni istante per istante.
Queste curve sono particolarmente utili perché:
- rappresentano il reale moto di un ponto soggetto a due oscillazioni perpendicolari
- si ricavano facilmente le ampiezze dei due moti oscillatori
- si possono ricavare gli sfasamenti dei due moti oscillatori
Tracciamo due rette parallele agli assi, in modo che non passino per i punti in cui le linee della curva si sovrappongono. Contiamo ora il numero di intersezioni di queste rette con la curva.
Nel nostro caso abbiamo 8 intersezioni lungo la retta orizzontale e 6 intersezioni lungo la retta verticale.
Il rapporto tra il numero di intersezioni nelle due linee è pari al rapporto tra le frequenze degli oscillatori 6/8 = 3:4.
Applicazioni pratiche
Il circuito octopus usa due segnali sinusoidali sfasati, applicati ad un oscilloscopio in modalità X-Y e il componente elettronico testato è identificato da una figura di Lissajous.
In campo audio le figure di Lissajous sono usate per correlare lo sfasamento tra i segnali stereo degli impianti acustici.
Lissajous casalinghe*
Noi makers vi proponiamo alcuni modi per ottenere delle figure di Lissajous in casa
Con oscilloscopio e generatore di segnali
Per questo esperimento abbiamo bisogno di un oscilloscopio a doppio canale in modalità x-y e un generatore di segnali doppio canale. Colleghiamo le uscite del generatore di segnali con le entrate dell’oscilloscopio ed accendiamo entrambi gli strumenti. Impostiamo l’oscilloscopio in modalità x-y e regoliamo a piacere i parametri del generatore di funzione ( frequenza, ampiezza, fase, forma d’onda).
Da qui possiamo capire che le figure di Lissajous sono l’unione di due onde che oscillano su piani perpendicolari e tracciano una figura sul piano.
Un particolare esempio sono le funzioni seno e coseno che sono due onde sinusoidali sfalsate di 90° che tracciano una figura sul piano detta cerchio goniometrico.
Con pendolo e sabbia
Abbiamo bisogno di un gomitolo di spago, un bicchiere di plastica, nastro adesivo, sabbia, fogli di giornale e una scala. Foriamo il fondo del bicchiere con una matita, fissiamo due pezzi di spago (di uguale lunghezza) di almeno 1,5 m sul bordo del bicchiere con del nastro adesivo e leghiamo le due estremità dei fili alla scala formando un pendolo a V libero di oscillare solo in una direzione.
Leghiamo un anello di spago ad un’altezza arbitraria del pendolo unendo i due fili e riducendo la V, così facendo abbiamo prodotto un nodo che separa due pendoli. La V che parte dalla scala e termina al nodo intermedio è il primo pendolo mentre il segmento di spago che parte dal nodo e termina al bicchiere è il secondo pendolo. I due pendoli oscillano su due piani perpendicolari. Poniamo i fogli di giornale sotto al pendolo e riempiamo il bicchiere di sabbia chiudendo il foro inferiore con un dito. Facciamo oscillare il pendolo con una traiettoria ellittica e lasciamo tracciare una scia di sabbia sui fogli di giornale.
A seconda delle lunghezze dei due pendoli si avranno delle figure di Lissajous differenti. Essendo la lunghezza del pendolo proporzionale al periodo di oscillazione, per modificare le figure basterà spostare l’altezza del nodo che separa i due pendoli.
Se non si possiede della sabbia si può sostituire il bicchiere con un LED e fare una fotografia a lungo tempo di esposizione con il cellulare. La foto finita mostrerà la scia luminosa che forma la figura di Lissajous.
Con laser e diapason
Per l’esperimento servono: due diapason, due specchietti, un laser, uno schermo bianco e occhiali protettivi (per laser). Montiamo i due specchietti alle estremità dei due diapason e allineiamoli perpendicolarmente con l’aiuto di morsetti da laboratorio.
Focalizziamo il laser in modo da formare un raggio riflesso sui due specchi e incidente sullo schermo. Facciamo vibrare i due diapason e osserviamo le figure prodotte sullo schermo dal laser. Cambiando la frequenza di oscillazione di uno dei due diapason modificheremo le figure di Lissajous.
Con un armonografo
È uno strumento che funziona nello stesso modo dei pendoli con la sabbia visti in precedenza.
Può assumere diverse forme e sfruttare meccanismi più o meno complessi ma in tutte le sue forme permette di disegnare con una penna o una matita delle figure di Lissajous su un foglio. Molti modelli permettono di ruotare il foglio in modo da ottenere delle figure più pittoresche.
Makers ITIS Forlì: https://www.makers-itis-forli.it
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